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    今日nba奇才vs热火:集合思想及应用-2019年高起点数学文科难点讲解-江苏成教

    江苏成人高考网奇才vs活塞 www.gembaja.net 发布时间: 2018年11月27日

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    难点1:集合思想及应用


    集合是高中数学的基本知识,为历年必考内容之一,主要考查对集合基本概念的认识和理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.


    ●难点磁场


    (★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.


    ●案例探究


    [例1]设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=,证明此结论.


    命题意图:本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力,即能从集合符号上分辨出所考查的知识点,进而解决问题.属★★★★★级题目.


    知识依托:解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=,这样难度就降低了.


    错解分析:此题难点在于考生对符号的不理解,对题目所给出的条件不能认清其实质内涵,因而可能感觉无从下手.


    技巧与方法:由集合A与集合B中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到b、k的范围,又因b、k∈N,进而可得值.


    解:∵(A∪B)∩C=,∴A∩C=且B∩C=∵∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0


    ∵A∩C=∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0


    ∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是16b2-16>0,即b2>1①


    ∵∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0


    ∵B∩C=,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0


    ∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5②


    由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组,得


    ∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.


    [例2]向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?


    命题意图:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.


    知识依托:解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来.


    错解分析:本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.


    技巧与方法:画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系.


    解:赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.


    设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x.


    依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21.


    所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人.


    ●锦囊妙计


    1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.


    2.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.

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